Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
Groupe réductifEn mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments unipotents de ) soit trivial. Tout est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial.
Linear algebraic groupIn mathematics, a linear algebraic group is a subgroup of the group of invertible matrices (under matrix multiplication) that is defined by polynomial equations. An example is the orthogonal group, defined by the relation where is the transpose of . Many Lie groups can be viewed as linear algebraic groups over the field of real or complex numbers. (For example, every compact Lie group can be regarded as a linear algebraic group over R (necessarily R-anisotropic and reductive), as can many noncompact groups such as the simple Lie group SL(n,R).
Sous-groupe compact maximalEn mathématiques, un sous-groupe compact maximal K d'un groupe topologique G est un sous-groupe K qui est un espace compact, dans la topologie du sous-espace, et maximal parmi ces sous-groupes. Les sous-groupes compacts maximaux jouent un rôle important dans la classification des groupes de Lie et en particulier des groupes de Lie semi-simples. Les sous-groupes compacts maximaux de groupes Lie ne sont pas en général unique, mais sont unique à conjugaison près - ils sont essentiellement uniques.
Théorie des représentations d'un groupe finivignette|Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie de la représentation des groupes. En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, la théorie des représentations d'un groupe fini traite des représentations d'un groupe G dans le cas particulier où G est un groupe fini. Cet article traite de l'aspect mathématique et, de même que l'article de synthèse « Représentations d'un groupe fini », n'aborde que les représentations linéaires de G (par opposition aux représentations projectives ou ).
Théorie des représentationsLa théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
Représentation d'algèbre de LieEn mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Groupe compactEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts. Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
Restricted representationIn group theory, restriction forms a representation of a subgroup using a known representation of the whole group. Restriction is a fundamental construction in representation theory of groups. Often the restricted representation is simpler to understand. Rules for decomposing the restriction of an irreducible representation into irreducible representations of the subgroup are called branching rules, and have important applications in physics.
Caractère d'une représentation d'un groupe finiEn mathématiques le caractère d'une représentation d'un groupe fini est un outil utilisé pour analyser les représentations d'un groupe fini. Le caractère d'une représentation (V, ρ) d'un groupe G correspond à l'application de G dans le corps de l'espace de la représentation qui à un élément s associe la trace de l'image de s par ρ. Cette définition n'est pas compatible avec celle des caractères d'un groupe en général qui ne prend ses valeurs que dans l'ensemble des complexes non nuls.
Suite de compositionLa notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes. Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie (G_0, G_1, ..., G_r) de sous-groupes de G telle queet que, pour tout i ∈ {0, 1, ..., r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite. Soient Σ_1 = (G_0, G_1, ...
Représentation irréductibleEn mathématiques et plus précisément en théorie des représentations, une représentation irréductible est une représentation non nulle qui n'admet qu'elle-même et la représentation nulle comme sous-représentations. Le présent article traite des représentations d'un groupe. Le théorème de Maschke démontre que dans de nombreux cas, une représentation est somme directe de représentations irréductibles. Dans le cas des groupes finis, les informations liés aux représentations irréductibles sont encodées dans la table de caractères du groupe.
Groupe symétriqueEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, .
Objet exceptionnelDe nombreuses branches des mathématiques étudient des objets d'un certain type et démontrent à leur sujet un . Ces classifications produisent en général des suites infinies d’objets, et un nombre fini d’exceptions n’appartenant à aucune de ces suites, et connues sous le nom d’objets exceptionnels. Ces objets jouent souvent un rôle important dans le développement de la théorie, et les objets exceptionnels de divers domaines ont fréquemment des relations les uns avec les autres.
Sous-groupe de BorelDans la théorie des groupes algébriques, un sous-groupe de Borel d'un groupe algébrique G est un sous-groupe algébrique résoluble, fermé, connexe et maximal pour ces propriétés. Par exemple, dans le groupe général linéaire GLn (matrices inversibles n×n), le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles est un sous-groupe de Borel. Pour les groupes réalisés sur des corps algébriquement clos, il existe une seule classe de conjugaison de sous-groupes de Borel.
Corps algébriquement closEn mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré.
Représentation admissibleEn mathématiques, les représentations admissibles forment une classe de représentations qui se comportent bien utilisée dans la théorie des représentations des groupes de Lie réductifs et des groupes localement compacts totalement discontinus. Elles ont été introduits par Harish-Chandra. Soit G un groupe de Lie connexe réductif réel ou complexe. Soit K un sous-groupe compact maximal. Une représentation continue (π, V ) de G sur un espace de Hilbert complexe V est dite admissible si la restriction de π à K est unitaire et si chaque représentation unitaire irréductible de K y figure avec une multiplicité finie.
Lie group–Lie algebra correspondenceIn mathematics, Lie group–Lie algebra correspondence allows one to correspond a Lie group to a Lie algebra or vice versa, and study the conditions for such a relationship. Lie groups that are isomorphic to each other have Lie algebras that are isomorphic to each other, but the converse is not necessarily true. One obvious counterexample is and (see real coordinate space and the circle group respectively) which are non-isomorphic to each other as Lie groups but their Lie algebras are isomorphic to each other.
Corps quasi-algébriquement closEn mathématiques, un corps K est dit quasi-algébriquement clos si tout polynôme homogène P sur K non constant possède un zéro non trivial dès que le nombre de ses variables est strictement supérieur à son degré, autrement dit : si pour tout polynôme P à coefficients dans K, homogène, non constant, en les variables X1, ..., XN et de degré d < N, il existe un zéro non trivial de P sur K, c'est-à-dire des éléments x1, ..., xN de K non tous nuls tels que P(x1, ..., xN) = 0.
Groupe de LieEn mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est aussi une variété différentielle. D'une part, un groupe est une structure algébrique munie d'une opération binaire, typiquement une multiplication et son inverse la division, ou alors une addition et son inverse la soustraction. D'autre part, une variété est un espace qui localement ressemble à un espace euclidien. Ici, on s'intéresse à un ensemble qui est à la fois un groupe et une variété : nous pouvons multiplier les éléments entre eux, calculer l'inverse d'un élément.
