Courbe elliptiqueEn mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.
Cryptographie sur les courbes elliptiquesLa cryptographie sur les courbes elliptiques (en anglais, elliptic curve cryptography ou ECC) regroupe un ensemble de techniques cryptographiques qui utilisent une ou plusieurs propriétés des courbes elliptiques, ou plus généralement d'une variété abélienne. L'usage des courbes elliptiques en cryptographie a été suggéré, de manière indépendante, par Neal Koblitz et Victor S. Miller en 1985.
Cryptographiethumb|La machine de Lorenz utilisée par les nazis durant la Seconde Guerre mondiale pour chiffrer les communications militaires de haut niveau entre Berlin et les quartiers-généraux des différentes armées. La cryptographie est une des disciplines de la cryptologie s'attachant à protéger des messages (assurant confidentialité, authenticité et intégrité) en s'aidant souvent de secrets ou clés. Elle se distingue de la stéganographie qui fait passer inaperçu un message dans un autre message alors que la cryptographie rend un message supposément inintelligible à autre que qui de droit.
Moduli stack of elliptic curvesIn mathematics, the moduli stack of elliptic curves, denoted as or , is an algebraic stack over classifying elliptic curves. Note that it is a special case of the moduli stack of algebraic curves . In particular its points with values in some field correspond to elliptic curves over the field, and more generally morphisms from a scheme to it correspond to elliptic curves over . The construction of this space spans over a century because of the various generalizations of elliptic curves as the field has developed.
Corps commutatifvignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.
Strong cryptographyStrong cryptography or cryptographically strong are general terms used to designate the cryptographic algorithms that, when used correctly, provide a very high (usually unsurmountable) level of protection against any eavesdropper, including the government agencies. There is no precise definition of the boundary line between the strong cryptography and (breakable) weak cryptography, as this border constantly shifts due to improvements in hardware and cryptanalysis techniques.
Elliptic curve digital signature algorithmElliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) est un algorithme de signature numérique à clé publique, variante de DSA. Il fait appel à la cryptographie sur les courbes elliptiques. L’algorithme a été proposé en 1992 par Scott Vanstone, en réponse à un appel d'offres pour les signatures numériques du National Institute of Standards and Technology (NIST). Vanstone fonda la société Certicom en 1985, et son entreprise détient la plupart des brevets des algorithmes à base de courbes elliptiques.
Fonction elliptique de WeierstrassEn analyse complexe, les fonctions elliptiques de Weierstrass forment une classe importante de fonctions elliptiques c'est-à-dire de fonctions méromorphes doublement périodiques. Toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci. Supposons que l'on souhaite fabriquer une telle fonction de période 1. On peut prendre une fonction quelconque, définie sur [0, 1] et telle que f(0) = f(1) et la prolonger convenablement. Un tel procédé a des limites. Par exemple, on obtiendra rarement des fonctions analytiques de cette façon.
Longueur de cléEn cryptologie, la longueur de clé ( ou key length) est la taille mesurée en bits de la clé de chiffrement (ou de signature) utilisée par un algorithme de chiffrement. La longueur de la clé est différente de la sécurité cryptographique, qui est la mesure de l'attaque la plus rapide contre un algorithme, aussi mesurée en bits. La sécurité évaluée d'un cryptosystème ne peut pas dépasser sa longueur de clé (étant donné que tout algorithme peut être cassé par force brute), mais elle peut être plus petite.
Glossary of field theoryField theory is the branch of mathematics in which fields are studied. This is a glossary of some terms of the subject. (See field theory (physics) for the unrelated field theories in physics.) A field is a commutative ring (F,+,*) in which 0≠1 and every nonzero element has a multiplicative inverse. In a field we thus can perform the operations addition, subtraction, multiplication, and division. The non-zero elements of a field F form an abelian group under multiplication; this group is typically denoted by F×; The ring of polynomials in the variable x with coefficients in F is denoted by F[x].
Endomorphisme de FrobeniusEn mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.
Trace (algèbre)En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme de ses coefficients diagonaux et souvent notée Tr(A). La trace peut être vue comme une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices. Elle vérifie l'identité : Tr(AB) = Tr(BA), et est en conséquence invariante par similitude. De façon voisine, si u est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, on peut définir la trace de l'opérateur u, par exemple comme trace de sa matrice dans n'importe quelle base.
Multiplication complexeEn mathématiques, une courbe elliptique est à multiplication complexe si l'anneau de ses endomorphismes est plus grand que celui des entiers (il existe une théorie plus générale de la multiplication complexe pour les variétés abéliennes de dimension supérieure). Cette notion est liée au douzième problème de Hilbert. Un exemple de courbe elliptique avec multiplication complexe est C/Z[i]θ où Z[i] est l'anneau des entiers de Gauss, et θ est n'importe quel nombre complexe différent de zéro.
Multiplicationthumb|La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4. La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division. Cette opération est souvent notée avec la croix de multiplication « × », mais peut aussi être notée par d'autres symboles (par exemple le point médian « · ») ou par l'absence de symbole. Son résultat s'appelle le produit, les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.
Droits des ÉtatsDans la politique aux États-Unis, le terme « droits des États » (states' rights) fait référence à la souveraineté individuelle des gouvernements des États américains vis-à-vis de l'État fédéral. La répartition des pouvoirs est déterminée par la Constitution, reflétant notamment les pouvoirs énumérés du Congrès et le Dixième amendement. La question des droits des États fut l'un des principaux arguments négationnistes du mouvement néo-confédéré, qui a cherché à légitimer a posteriori la « Cause perdue » de la Confédération, en niant le fait que l'esclavage fut la cause principale de la guerre de Sécession.
