Mouvement brownien fractionnaireLe mouvement brownien fractionnaire (mBf) a été introduit par Kolmogorov en 1940, comme moyen d'engendrer des "spirales" gaussiennes dans des espaces de Hilbert. En 1968, Mandelbrot et Van Ness l'ont rendu célèbre en l'introduisant dans des modèles financiers, et en étudiant ses propriétés. Le champ des applications du mBf est immense. En effet, il sert par exemple à recréer certains paysages naturels, notamment des montagnes, mais également en hydrologie, télécommunications, économie, physique...
Logarithmevignette|Tracés des fonctions logarithmes en base 2, e et 10. En mathématiques, le logarithme (de logos : rapport et arithmos : nombre) de base d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir ce nombre. Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : comme 1000 = 10×10×10 = 10, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de en base est noté : . John Napier a développé les logarithmes au début du .
Mouvement brownienvignette|Simulation de mouvement brownien pour cinq particules (jaunes) qui entrent en collision avec un lot de 800 particules. Les cinq chemins bleus représentent leur trajet aléatoire dans le fluide. Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un liquide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant.
Dimension de HausdorffEn mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L'exemple le plus simple est l'espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension n muni d'une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l'espace vectoriel.
Probabilitévignette|Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles. Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin probabilitas, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d'un événement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée théorie des probabilités ou plus simplement probabilités ; enfin une doctrine porte également le nom de probabilisme.
Logarithme naturelLe logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au , transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1. Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x.
Théorie des probabilitésLa théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente.
Loi de probabilité à queue lourdevignette|Long tail. Dans la théorie des probabilités, une loi de probabilité à queue lourde est une loi de probabilité dont les queues ne sont pas exponentiellement bornées, ce qui signifie qu'elles ont des queues plus « lourdes » que la loi exponentielle. Dans de nombreuses applications, c'est la queue droite de la distribution qui est intéressante, mais une distribution peut avoir une queue lourde à gauche, ou les deux queues peuvent être lourdes.
Geometric Brownian motionA geometric Brownian motion (GBM) (also known as exponential Brownian motion) is a continuous-time stochastic process in which the logarithm of the randomly varying quantity follows a Brownian motion (also called a Wiener process) with drift. It is an important example of stochastic processes satisfying a stochastic differential equation (SDE); in particular, it is used in mathematical finance to model stock prices in the Black–Scholes model.
Logarithme itérévignette|Graphique montrant le logarithme itéré En informatique, le logarithme itéré d'un nombre n, noté (lu "log star" ou "log étoile"), est le nombre de fois que le logarithme doit lui être appliqué avant que le résultat soit inférieur ou égal à 1. Cette fonction est utilisée pour décrire la complexité de certains algorithmes, notamment en algorithmique distribuée. Le logarithme itéré de base b peut être défini par : Sur les nombres réels positifs, le continu (l'inverse de la tétration) est essentiellement équivalente : Le tableau suivant donne les valeurs du logarithme itéré (en base 2) : Cette fonction croît extrêmement lentement.
DimensionLe terme dimension, du latin dimensio « action de mesurer », désigne d’abord chacune des grandeurs d’un objet : longueur, largeur et profondeur, épaisseur ou hauteur, ou encore son diamètre si c'est une pièce de révolution. L’acception a dérivé de deux façons différentes en physique et en mathématiques. En physique, la dimension qualifie une grandeur indépendamment de son unité de mesure, tandis qu’en mathématiques, la notion de dimension correspond au nombre de grandeurs nécessaires pour identifier un objet, avec des définitions spécifiques selon le type d’objet (algébrique, topologique ou combinatoire notamment).
Application lipschitzienneEn analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure, en valeur absolue, à une constante appelée constante de Lipschitz. Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.
Logarithme binaireEn mathématiques, le logarithme binaire (log2 n) est le logarithme de base 2. C’est la fonction réciproque de la fonction puissance de deux : x ↦ 2x. Le logarithme binaire de x est la puissance à laquelle le nombre 2 doit être élevé pour obtenir la valeur x, soit : . Ainsi, le logarithme binaire de 1 est 0, le logarithme binaire de 2 est 1, le logarithme binaire de 4 est 2, le logarithme binaire de 8 est 3. On le ld () (pour logarithmus dualis), mais la norme ISO 80000-2 indique que log2(x) devrait être symbolisé par lb (x).
Mesure extérieureLa notion de mesure extérieure (ou mesure extérieure au sens de Carathéodory) est un concept, dû au mathématicien Constantin Carathéodory, qui généralise dans un cadre axiomatique une construction utilisée par Henri Lebesgue pour définir la mesure de Lebesgue des parties Lebesgue-mesurables de la droite réelle. Soit un ensemble.
Repère log-logUn repère log-log est un repère dans lequel les deux axes sont gradués selon une échelle logarithmique. Un repère log-log permet de représenter linéairement des phénomènes où y est une fonction puissance de x. Représentation dans un repère log-log de la période de certaines planètes en fonction du demi-grand axe de leur trajectoire (lois de Kepler). La relation entre T et R est donnée par . Le tracé du par rapport au donne: 300px|center Période et demi grand axe dans un repère log-log.
Longue traîneEn statistique, la queue ou traîne d'une loi de probabilité correspond à la portion éloignée de la « tête » ou valeur centrale de la loi. Une loi de probabilité est dite à longue traîne si une plus grande partie de la loi est contenue dans sa traîne par rapport à celle de la loi normale. Une loi à longue traîne est un cas particulier de lois à queue lourde. Benoît Mandelbrot a été surnommé le « père des longues traînes » pour son article de 1951 dans ce domaine.
Loi de probabilitéthumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.
Processus de WienerEn mathématiques, le processus de Wiener est un processus stochastique à temps continu nommé ainsi en l'honneur de Norbert Wiener. Il permet de modéliser le mouvement brownien. C'est l'un des processus de Lévy les mieux connus. Il est souvent utilisé en mathématique appliquée, en économie et en physique. Le processus de Wiener est défini comme un mouvement brownien standard monodimensionnel, démarrant à l'origine, et à valeurs réelles.
Repère semi-logarithmiqueUn repère semi-logarithmique est un repère (au sens de ) dans lequel l'un des axes, par exemple celui des abscisses (x), est gradué selon une échelle linéaire, comme les graduations d'un mètre courant, alors que l'autre axe, ici celui des ordonnées (y), est gradué selon une échelle logarithmique. Le repère semi-logarithmique permet de représenter des phénomènes exponentiels ou, plus généralement, des mesures s'étalant sur plusieurs ordres de grandeurs comme prenant des valeurs proches de 1 ou proches de Représentation graphique des termes de la suite dans un repère semi-logarithmique.
Long-range dependenceLong-range dependence (LRD), also called long memory or long-range persistence, is a phenomenon that may arise in the analysis of spatial or time series data. It relates to the rate of decay of statistical dependence of two points with increasing time interval or spatial distance between the points. A phenomenon is usually considered to have long-range dependence if the dependence decays more slowly than an exponential decay, typically a power-like decay. LRD is often related to self-similar processes or fields.
