Espace de modulesEn mathématiques, un espace de modules est un espace paramétrant les diverses classes d'objets sous une relation d'équivalence ; l'intérêt est de pouvoir alors munir naturellement ces espaces de classes d'une structure supplémentaire. L'archétype de cette situation est la classification des courbes elliptiques par les points d'une courbe modulaire. Autre exemple : en géométrie différentielle, l'espace de modules d'une variété est l'espace des paramètres définissant la géométrie modulo les difféomorphismes locaux et globaux.
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
Moduli of algebraic curvesIn algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space (typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism classes of algebraic curves. It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding moduli problem and the moduli space is different. One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces for the same moduli problem.
Moduli schemeIn mathematics, a moduli scheme is a moduli space that exists in the developed by Alexander Grothendieck. Some important moduli problems of algebraic geometry can be satisfactorily solved by means of scheme theory alone, while others require some extension of the 'geometric object' concept (algebraic spaces, algebraic stacks of Michael Artin). Work of Grothendieck and David Mumford (see geometric invariant theory) opened up this area in the early 1960s.
Gauge theory (mathematics)In mathematics, and especially differential geometry and mathematical physics, gauge theory is the general study of connections on vector bundles, principal bundles, and fibre bundles. Gauge theory in mathematics should not be confused with the closely related concept of a gauge theory in physics, which is a field theory which admits gauge symmetry. In mathematics theory means a mathematical theory, encapsulating the general study of a collection of concepts or phenomena, whereas in the physical sense a gauge theory is a mathematical model of some natural phenomenon.
Siegel modular varietyIn mathematics, a Siegel modular variety or Siegel moduli space is an algebraic variety that parametrizes certain types of abelian varieties of a fixed dimension. More precisely, Siegel modular varieties are the moduli spaces of principally polarized abelian varieties of a fixed dimension. They are named after Carl Ludwig Siegel, the 20th-century German number theorist who introduced the varieties in 1943. Siegel modular varieties are the most basic examples of Shimura varieties.
Moduli stack of elliptic curvesIn mathematics, the moduli stack of elliptic curves, denoted as or , is an algebraic stack over classifying elliptic curves. Note that it is a special case of the moduli stack of algebraic curves . In particular its points with values in some field correspond to elliptic curves over the field, and more generally morphisms from a scheme to it correspond to elliptic curves over . The construction of this space spans over a century because of the various generalizations of elliptic curves as the field has developed.
Hilbert schemeIn algebraic geometry, a branch of mathematics, a Hilbert scheme is a scheme that is the parameter space for the closed subschemes of some projective space (or a more general projective scheme), refining the Chow variety. The Hilbert scheme is a disjoint union of projective subschemes corresponding to Hilbert polynomials. The basic theory of Hilbert schemes was developed by . Hironaka's example shows that non-projective varieties need not have Hilbert schemes.
Courbe algébriqueEn mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une courbe algébrique est une variété algébrique (ou un schéma de type fini) sur un corps, dont les composantes irréductibles sont de dimension 1. Cette définition est la généralisation moderne de celle des courbes algébriques classiques, telles que les coniques, définies, dans le cas des courbes planes, comme l'ensemble des points solutions d'une équation polynomiale. Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps est une variété algébrique de dimension 1 sur , séparée pour éviter des pathologies.
Schéma (géométrie algébrique)En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Morphisme platEn géométrie algébrique, un morphisme de schémas peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille. Un morphisme est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif. Si est un faisceau quasi-cohérent sur X.
Deformation (mathematics)In mathematics, deformation theory is the study of infinitesimal conditions associated with varying a solution P of a problem to slightly different solutions Pε, where ε is a small number, or a vector of small quantities. The infinitesimal conditions are the result of applying the approach of differential calculus to solving a problem with constraints. The name is an analogy to non-rigid structures that deform slightly to accommodate external forces.
Smooth schemeIn algebraic geometry, a smooth scheme over a field is a scheme which is well approximated by affine space near any point. Smoothness is one way of making precise the notion of a scheme with no singular points. A special case is the notion of a smooth variety over a field. Smooth schemes play the role in algebraic geometry of manifolds in topology. First, let X be an affine scheme of finite type over a field k. Equivalently, X has a closed immersion into affine space An over k for some natural number n.
Courbe stableEn géométrie algébrique, une courbe stable est une courbe algébrique dont les singularités sont les plus simples possibles. Elles ont été introduites par Deligne et Mumford pour construire une compactification de l'espace de modules de courbes projectives lisses. Soit un corps algébriquement clos. Un point fermé d'une courbe algébrique (c'est-à-dire variété algébrique de dimension 1) sur est appelé un point double ordinaire si le complété formel de l'anneau local est isomorphe à la -algèbre .
Courbe planevignette|droite|Courbe hyperbolique. En mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue : où est un intervalle de l'ensemble des nombres réels. L' d'une courbe est aussi appelée support de la courbe. Parfois, on utilise aussi l'expression courbe pour indiquer le support d'une courbe. Une courbe sur un espace euclidien de dimension supérieure à 2 est dite plane si son support est contenu dans un plan lui-même contenu dans l'espace euclidien dans lequel elle est définie.
Théorème de l'indice d'Atiyah-SingerEn mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, démontré par Michael Atiyah et Isadore Singer en 1963, affirme que pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété différentielle compacte, l’indice analytique (lié à la dimension de l'espace des solutions) est égal à l’indice topologique (défini à partir d'invariants topologiques). De nombreux autres théorèmes, comme le théorème de Riemann-Roch, en sont des cas particuliers, et il a des applications en physique théorique.
Pierre DelignePierre René, vicomte Deligne est un mathématicien belge, né le à Etterbeek dans la Région de Bruxelles-Capitale. Pierre René Deligne est diplômé de l'Université libre de Bruxelles en 1966, en ayant effectué une année de scolarité à l’école normale supérieure en 1965-1966. Il soutient une première thèse de doctorat en 1968 à Bruxelles. De 1968 à 1984, il est membre de l’Institut des hautes études scientifiques, où il assiste aux séminaires d’Alexandre Grothendieck qu'il appelle son « maître ».
CourbeEn mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe, ou ligne courbe, est un objet du plan ou de l'espace usuel, similaire à une droite mais non nécessairement linéaire. Par exemple, les cercles, les droites, les segments et les lignes polygonales sont des courbes. La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de .
Lexique de la théorie des graphesNOTOC Acyclique graphe ne contenant pas de cycle. Adjacence une liste d'adjacence est une structure de données constituée d'un tableau dont le -ème élément correspond à la liste des voisins du -ème sommet. Adjacence une matrice d'adjacence est une matrice carrée usuellement notée , de dimensions , dont chaque élément est égal au nombre d'arêtes incidentes (ayant pour extrémités) aux sommets d'indices et (pour un graphe simple non pondéré, ). Dans le cas d'un graphe pondéré, chaque élément est égal à la somme du poids des arêtes incidentes.
Degré (théorie des graphes)thumb|Un graphe non orienté où on a indiqué le degré de chaque sommet sur ce sommet. Dans ce graphe, le degré maximal est et le degré minimal est . En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, le degré (ou valence) d'un sommet d'un graphe est le nombre de liens (arêtes ou arcs) reliant ce sommet, avec les boucles comptées deux fois. Le degré d'un sommet est noté . Dans le cas d'un graphe orienté, on parle aussi du degré entrant d'un sommet , c'est-à-dire le nombre d'arcs dirigés vers le sommet , et du degré sortant de ce sommet , c'est-à-dire le nombre d'arcs sortant de .
