Groupe de GaloisEn mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d'une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L laissant K invariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal(L/K). Si l'extension possède de bonnes propriétés, c’est-à-dire si elle est séparable et normale, on parle alors d'extension de Galois et les hypothèses du théorème fondamental de la théorie de Galois sont réunies.
Extension de GaloisEn mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension normale séparable. L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelée groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension, ainsi que ses sous-corps. Les extensions de Galois sont des structures largement utilisées pour la démonstration de théorèmes en théorie algébrique des nombres, comme le dernier théorème de Fermat, ou en théorie de Galois pure, comme le théorème d'Abel-Ruffini.
Algèbre d'AzumayaEn mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964.
Corps algébriquement closEn mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré.
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Corps de décompositionEn mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie des corps commutatifs, un corps de décomposition, ou parfois corps des racines ou encore corps de déploiement, d'un polynôme P non nul est une extension de corps minimale sur laquelle P est scindé. On montre qu'un polynôme non nul possède toujours un corps de décomposition, unique à isomorphisme près, et que celui-ci est une extension finie et normale. Si de plus le polynôme est séparable, c'est une extension de Galois.
Clôture algébriqueEn mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L. Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans une clôture algébrique de K.
Algèbre de WeylEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, lalgèbre de Weyl est un anneau d'opérateurs différentiels dont les coefficients sont des polynômes à une variable. Cette algèbre (et d'autres la généralisant, appelées elles aussi algèbres de Weyl) a été introduite par Hermann Weyl en 1928 comme outil d'étude du principe d'incertitude en mécanique quantique. Les éléments de l'algèbre de Weyl sont de la forme où les fi sont des éléments de F[X], l'anneau des polynômes à une variable sur un corps F, et où ∂X est la dérivée par rapport à X.
Corps quasi-algébriquement closEn mathématiques, un corps K est dit quasi-algébriquement clos si tout polynôme homogène P sur K non constant possède un zéro non trivial dès que le nombre de ses variables est strictement supérieur à son degré, autrement dit : si pour tout polynôme P à coefficients dans K, homogène, non constant, en les variables X1, ..., XN et de degré d < N, il existe un zéro non trivial de P sur K, c'est-à-dire des éléments x1, ..., xN de K non tous nuls tels que P(x1, ..., xN) = 0.
Théorie de GaloisEn mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la théorie de Galois différentielle, ou la théorie de Galois des revêtements. Cette théorie est née de l'étude par Évariste Galois des équations algébriques.
Correspondance de GaloisEn mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture. Soient et des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés et . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.
Pseudo algebraically closed fieldIn mathematics, a field is pseudo algebraically closed if it satisfies certain properties which hold for algebraically closed fields. The concept was introduced by James Ax in 1967. A field K is pseudo algebraically closed (usually abbreviated by PAC) if one of the following equivalent conditions holds: Each absolutely irreducible variety defined over has a -rational point. For each absolutely irreducible polynomial with and for each nonzero there exists such that and . Each absolutely irreducible polynomial has infinitely many -rational points.
Décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennesEn mathématiques, l'interaction entre le groupe de Galois G d'une extension galoisienne de corps de nombres L/K (ou de corps de nombres p-adiques, ou de corps de fonctions), et la manière dont les idéaux premiers de l'anneau O des entiers se décomposent sous forme de produits d'idéaux premiers de O, est à la base de nombreux développements fructueux en théorie algébrique des nombres. Le cas d'une extension non nécessairement galoisienne est traitée dans l'article « Décomposition des idéaux premiers ».
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
Polynôme caractéristiqueEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, à toute matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace. Le théorème de Cayley-Hamilton assure que toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.
Théorème fondamental de la théorie de GaloisEn mathématiques et plus précisément en algèbre commutative, le théorème fondamental de la théorie de Galois établit une correspondance entre les extensions intermédiaires d'une extension finie de corps et leurs groupes de Galois, dès lors que l'extension est galoisienne, c’est-à-dire séparable et normale. Soient L une extension galoisienne finie de K et G son groupe de Galois. Pour tout sous-groupe H de G, on note LH le sous-corps de L constitué des éléments fixés par chaque élément de H.
Représentation galoisienneLa théorie des représentations galoisiennes est l'application naturelle de la théorie des représentations à la théorie algébrique des nombres. Un module galoisien est un module sur lequel agit un groupe de Galois G. Ces modules seront par exemple des groupes d'unités, des groupes des classes, ou des groupes de Galois eux-mêmes. En théorie algébrique des nombres classique, soit L une extension galoisienne d'un corps de nombres K, et soit G le groupe de Galois correspondant.
Groupe de Galois absoluEn mathématiques, le groupe de Galois absolu d'un corps commutatif K est le groupe de Galois d'une clôture séparable (extension algébrique séparable maximale, nécessairement normale donc galoisienne) Ksep du corps K. Dans le cas d'un corps parfait (et donc en particulier en caractéristique nulle), une clôture séparable coïncide avec une clôture algébrique. La compréhension du groupe de Galois absolu du corps des nombres rationnels est un problème important en théorie algébrique des nombres.
Polynôme réciproqueEn mathématiques, le polynôme réciproque d'un polynôme à coefficients complexes est le polynôme P* défini par : où désigne le conjugué de . Pour tout nombre complexe z non nul, on a donc : Un polynôme est dit réciproque lorsqu'il est égal à son polynôme réciproque. Si les coefficients ai sont réels, cette définition équivaut à ai = an−i. Dans ce cas, P est aussi appelé un . Le polynôme minimal sur d'un nombre algébrique de module 1 est égal ou opposé à son polynôme réciproque.
K3 (géométrie)En géométrie différentielle ou algébrique, les surfaces K3 sont les variétés de Calabi-Yau de plus petite dimension différentes des tores. Ce sont des variétés complexes de dimension complexe 2 compactes et kählériennes. Les surfaces K3 possèdent en outre la propriété d'être les seules variétés de Calabi-Yau distincte du 4-tore T d'un point de vue topologique ou différentiel. Cependant, en tant que variété complexe, il y a un nombre infini de surfaces K3 non isomorphes. On peut notamment les distinguer par le biais du .
