Computable functionComputable functions are the basic objects of study in computability theory. Computable functions are the formalized analogue of the intuitive notion of algorithms, in the sense that a function is computable if there exists an algorithm that can do the job of the function, i.e. given an input of the function domain it can return the corresponding output. Computable functions are used to discuss computability without referring to any concrete model of computation such as Turing machines or register machines.
Turing reductionIn computability theory, a Turing reduction from a decision problem to a decision problem is an oracle machine which decides problem given an oracle for (Rogers 1967, Soare 1987). It can be understood as an algorithm that could be used to solve if it had available to it a subroutine for solving . The concept can be analogously applied to function problems. If a Turing reduction from to exists, then every algorithm for can be used to produce an algorithm for , by inserting the algorithm for at each place where the oracle machine computing queries the oracle for .
Théorie de la calculabilitéLa théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est un domaine de la logique mathématique et de l'informatique théorique. La calculabilité (parfois appelée « computationnalité », de l'anglais computability) cherche d'une part à identifier la classe des fonctions qui peuvent être calculées à l'aide d'un algorithme et d'autre part à appliquer ces concepts à des questions fondamentales des mathématiques. Une bonne appréhension de ce qui est calculable et de ce qui ne l'est pas permet de voir les limites des problèmes que peuvent résoudre les ordinateurs.
Undecidable problemIn computability theory and computational complexity theory, an undecidable problem is a decision problem for which it is proved to be impossible to construct an algorithm that always leads to a correct yes-or-no answer. The halting problem is an example: it can be proven that there is no algorithm that correctly determines whether arbitrary programs eventually halt when run. A decision problem is a question which, for every input in some infinite set of inputs, answers "yes" or "no"..
Model of computationIn computer science, and more specifically in computability theory and computational complexity theory, a model of computation is a model which describes how an output of a mathematical function is computed given an input. A model describes how units of computations, memories, and communications are organized. The computational complexity of an algorithm can be measured given a model of computation. Using a model allows studying the performance of algorithms independently of the variations that are specific to particular implementations and specific technology.
Hiérarchie arithmétiquethumb|Illustration de la hiérarchie arithmétique. En logique mathématique, plus particulièrement en théorie de la calculabilité, la hiérarchie arithmétique, définie par Stephen Cole Kleene, est une hiérarchie des sous-ensembles de l'ensemble N des entiers naturels définissables dans le langage du premier ordre de l'arithmétique de Peano. Un ensemble d'entiers est classé suivant les alternances de quantificateurs d'une formule sous forme prénexe qui permet de le définir.
Pseudo-codeEn programmation, le pseudo-code, également appelé LDA (pour Langage de Description d'Algorithmes) est une façon de décrire un algorithme en langage presque naturel, sans référence à un langage de programmation en particulier. L'écriture en pseudo-code permet souvent de bien prendre toute la mesure de la difficulté de la mise en œuvre de l'algorithme, et de développer une démarche structurée dans la construction de celui-ci.
Simple setIn computability theory, a subset of the natural numbers is called simple if it is computably enumerable (c.e.) and co-infinite (i.e. its complement is infinite), but every infinite subset of its complement is not c.e.. Simple sets are examples of c.e. sets that are not computable. Simple sets were devised by Emil Leon Post in the search for a non-Turing-complete c.e. set. Whether such sets exist is known as Post's problem. Post had to prove two things in order to obtain his result: that the simple set A is not computable, and that the K, the halting problem, does not Turing-reduce to A.
Théorème de RiceEn informatique théorique, plus précisément en théorie de la calculabilité, le théorème de Rice énonce que toute propriété sémantique non triviale d'un programme est indécidable. Le théorème de Rice généralise l'indécidabilité du problème de l'arrêt. Le théorème est classique et fait l'objet d'exercices dans certains ouvrages de théorie de la calculabilité. Il a une certaine portée philosophique vis-à-vis de la calculabilité et est dû au logicien Henry Gordon Rice.
Machine de TuringEn informatique théorique, une machine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tel un ordinateur. Ce modèle a été imaginé par Alan Turing en 1936, en vue de donner une définition précise au concept d’algorithme ou de « procédure mécanique ». Il est toujours largement utilisé en informatique théorique, en particulier dans les domaines de la complexité algorithmique et de la calculabilité.
Turing-completEn informatique et en logique, un système formel est dit complet au sens de Turing ou Turing-complet (par calque de l’anglais Turing-complete) s’il possède un pouvoir expressif au moins équivalent à celui des machines de Turing. Dans un tel système, il est donc possible de programmer n'importe quelle machine de Turing. Cette notion est rendue pertinente par la thèse de Church, qui postule l’existence d’une notion naturelle de calculabilité.
InformaticienUn informaticien ou une informaticienne est une personne qui exerce un métier dans l'étude, la conception, la production, la gestion ou la maintenance des systèmes de traitement de l'information. La définition générale désigne le technicien ou l'ingénieur spécialiste d'un système informatique. Femmes en informatique Le métier d'informaticien apparaît à la fin du avec l’émergence de la mécanographie. Celle-ci consiste alors à traiter l'information à l'aide de systèmes électromécaniques.
Récursivement énumérableEn théorie de la calculabilité, un ensemble d'entiers naturels est récursivement énumérable ou semi-décidable si : il existe un algorithme qui prend un entier naturel en entrée, et qui s'arrête exactement sur les entiers de ; ou, de manière équivalente : il existe un procédé algorithmique qui, au cours de son fonctionnement, énumère en sortie tous les entiers de et seulement ceux-ci (il est possible, et même nécessaire quand est infini, qu'il ne s'arrête pas).
Ensemble récursifEn théorie de la calculabilité, un ensemble récursif ou ensemble décidable est un ensemble d'entiers (ou d'éléments facilement codables dans les entiers) dont la fonction caractéristique est une fonction récursive au sens de la logique mathématique. En d'autres termes, un ensemble est récursif si, et seulement si, il existe une machine de Turing (un programme informatique) permettant de déterminer en un temps fini si un entier quelconque est dans ou pas. Ce type d'ensemble correspond à un concept effectif de John R.
BlooP and FlooPand () (Bounded loop and Free loop) are simple programming languages designed by Douglas Hofstadter to illustrate a point in his book Gödel, Escher, Bach. BlooP is a non-Turing-complete programming language whose main control flow structure is a bounded loop (i.e. recursion is not permitted). All programs in the language must terminate, and this language can only express primitive recursive functions. FlooP is identical to BlooP except that it supports unbounded loops; it is a Turing-complete language and can express all computable functions.
Machine à registres illimitésEn informatique, une machine à registres illimités ou URM (de l'anglais : Unlimited Register Machine) est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tout comme les machines de Turing et le lambda-calcul. Une URM est Turing-complète. Les registres de la machine sont représentés par : et peuvent contenir des éléments de . Un programme pour cette machine est représenté par toute suite de la forme : qui contient une suite finie d'instructions.
Oméga de Chaitinthumb|right|upright=1.2|Un nombre Oméga de Chaitin est une suite de bits représentant, sous forme concentrée, la solution du problème de l'arrêt pour tous les programmes d'une machine de Turing universelle donnée. En théorie algorithmique de l'information, une constante 'Oméga de Chaitin' (nombres définis et étudiés par Gregory Chaitin) caractérise de manière univoque et mathématiquement précise un nombre réel, qui possède la particularité d'être aléatoire et de ne pas être calculable au sens de Turing : un algorithme donné ne permet de calculer qu'un nombre fini de ses décimales.
Castor affairéUn castor affairé est, en théorie de la calculabilité, une machine de Turing qui maximise son « activité opérationnelle » (comme le nombre de pas effectués ou le nombre de symboles écrits avant son arrêt) parmi toutes les machines de Turing d'une certaine classe. Celles-ci doivent satisfaire certaines spécifications et doivent s'arrêter après être lancées sur un ruban vierge. Une fonction du castor affairé, ou fonction du nombre maximal de pas quantifie cette activité maximale pour une machine de Turing à n états ; ce type de fonction n'est pas calculable.
Machine de Turing universellevignette|upright=1.5|Une machine de Turing quelconque M réalise un calcul à partir d'une entrée écrite sur son ruban. Une machine de Turing universelle U simule le calcul de M sur l'entrée de M à partir d'une description de M et de l'entrée de M écrits sur le ruban de U. En informatique, plus précisément en informatique théorique, une machine de Turing universelle est une machine de Turing qui peut simuler n'importe quelle machine de Turing sur n'importe quelle entrée.
Machine à compteursUne machine à compteurs est un modèle de calcul très rudimentaire. Les machines à compteurs sont parfois appelées machines à registres ou machines de Minsky. Dans sa version la plus simple une machine à compteurs est composée de deux compteurs (ou registres) et d'un programme. Chaque compteur est un entier naturel (non borné).
