Fibré normalEn géométrie différentielle, le fibré normal d’une sous-variété différentielle est un fibré vectoriel orthogonal au fibré tangent de la sous-variété dans celui de la variété ambiante. La définition s’étend au cas d’une immersion d’une variété différentielle dans une autre. Elle s’étend aussi plus généralement en topologie différentielle comme un fibré supplémentaire au fibré tangent de la sous-variété.
Chirurgie (topologie)En mathématiques, et particulièrement en topologie géométrique, la chirurgie est une technique, introduite en 1961 par John Milnor, permettant de construire une variété à partir d'une autre de manière « contrôlée ». On parle de chirurgie parce que cela consiste à « couper » une partie de la première variété et à la remplacer par une partie d'une autre variété, en identifiant les frontières ; ces transformations sont étroitement liées à la notion de décomposition en anses.
Regular homotopyIn the mathematical field of topology, a regular homotopy refers to a special kind of homotopy between immersions of one manifold in another. The homotopy must be a 1-parameter family of immersions. Similar to homotopy classes, one defines two immersions to be in the same regular homotopy class if there exists a regular homotopy between them. Regular homotopy for immersions is similar to isotopy of embeddings: they are both restricted types of homotopies.
Application de GaussEn géométrie différentielle classique, l'application de Gauss est une application naturelle différentiable sur une surface de , à valeurs dans la sphère unité , et dont la différentielle permet d'accéder à la seconde forme fondamentale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. Soit une surface orientée de classe de . Pour un point de , il existe un unique vecteur normal unitaire compatible avec l'orientation de .
CodimensionLa codimension est une notion de géométrie, rencontrée en algèbre linéaire, en géométrie différentielle et en géométrie algébrique. C'est une mesure de la différence de tailles entre un espace et un sous-espace. La codimension dans un espace vectoriel E d'un sous-espace vectoriel F est la dimension de l'espace vectoriel quotient E/F : Cette codimension est aussi égale à la dimension de n'importe quel supplémentaire de F dans E car tous sont isomorphes à E/F. Il résulte de la définition que F = E si et seulement si codim(F) = 0.
Submersion (mathématiques)En topologie différentielle – une branche des mathématiques –, une submersion ou application submersive entre deux variétés différentielles est une application différentiable dont la différentielle en tout point est surjective. Soient V et W deux variétés différentielles, f une application différentiable de V dans W et x un point de V. On dit que f est une submersion au point x si l'application linéaire tangente Tf(x) est surjective, autrement dit (W étant supposée de dimension finie) : si le rang de Tf(x) est égal à la dimension de W.
Surface de BoyLa surface de Boy, du nom de Werner Boy, mathématicien ayant été le premier à imaginer son existence en 1902, est une immersion du plan projectif réel dans l'espace usuel de dimension 3. Le plan projectif se définit comme l'espace quotient de par la relation d'équivalence qu'est la colinéarité. La surface de Boy peut aussi être « vue » comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou encore un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord.
Variété différentielleEn mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Local diffeomorphismIn mathematics, more specifically differential topology, a local diffeomorphism is intuitively a map between Smooth manifolds that preserves the local differentiable structure. The formal definition of a local diffeomorphism is given below. Let and be differentiable manifolds. A function is a local diffeomorphism, if for each point there exists an open set containing such that is open in and is a diffeomorphism.
Real projective spaceIn mathematics, real projective space, denoted \mathbb{RP}^n or \mathbb{P}_n(\R), is the topological space of lines passing through the origin 0 in the real space \R^{n+1}. It is a compact, smooth manifold of dimension n, and is a special case \mathbf{Gr}(1, \R^{n+1}) of a Grassmannian space. As with all projective spaces, RPn is formed by taking the quotient of Rn+1 ∖ under the equivalence relation x ∼ λx for all real numbers λ ≠ 0. For all x in Rn+1 ∖ one can always find a λ such that λx has norm 1.
Indice (analyse complexe)vignette|L'indice du point p par rapport au lacet C vaut 2. En mathématiques, l'indice d'un point par rapport à un lacet est intuitivement le nombre de tours (dans le sens contraire des aiguilles d'une montre) réalisé par le lacet autour du point. Cette notion joue un rôle central en analyse complexe, car l'indice intervient dans la théorie de Cauchy globale et, en particulier, dans la formule intégrale de Cauchy. L'indice apparaît également dans le théorème des résidus.
Topologie différentielleLa topologie différentielle est une branche des mathématiques qui étudie les fonctions différentiables définies sur des variétés différentielles, ainsi que les applications différentiables entre variétés différentielles. Elle est reliée à la géométrie différentielle, discipline avec laquelle elle se conjugue pour construire une théorie géométrique des variétés différentiables. Variété différentielle Les variétés différentielles constituent le cadre de base de la topologie différentielle.
Ruban de Möbiusvignette|Réalisation à partir d'une bande de papier. En topologie, le ruban de Möbius (aussi appelé bande de Möbius ou boucle de Möbius) est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle. Autrement dit, il ne possède qu'une seule face (et un seul bord) contrairement à un ruban classique qui en possède deux. La surface a la particularité d'être réglée et non orientable. Elle a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et Johann Benedict Listing (1808-1882).
Bouteille de KleinEn mathématiques, la 'bouteille de Klein' (prononcé ) est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Son nom provient possiblement d’une confusion ou d’un jeu de mots entre les termes Klein Fläche (« surface de Klein ») et Klein Flasche (« bouteille de Klein »).
EnlacementEn mathématiques, l'enlacement est un nombre entier défini pour deux courbes fermées de l'espace R sans point double. Il décrit la façon dont ces deux courbes sont enlacées, liées l'une par rapport à l'autre. Il fut défini pour la première fois par Gauss. Si on peut séparer les deux courbes en les déformant sans les couper, alors l'enlacement des deux courbes vaut zéro. La réciproque est fausse. Il existe plusieurs façons de calculer l'enlacement de deux courbes et .
Closed manifoldIn mathematics, a closed manifold is a manifold without boundary that is compact. In comparison, an open manifold is a manifold without boundary that has only non-compact components. The only connected one-dimensional example is a circle. The sphere, torus, and the Klein bottle are all closed two-dimensional manifolds. The real projective space RPn is a closed n-dimensional manifold. The complex projective space CPn is a closed 2n-dimensional manifold. A line is not closed because it is not compact.
SubmanifoldIn mathematics, a submanifold of a manifold M is a subset S which itself has the structure of a manifold, and for which the inclusion map S → M satisfies certain properties. There are different types of submanifolds depending on exactly which properties are required. Different authors often have different definitions. In the following we assume all manifolds are differentiable manifolds of class Cr for a fixed r ≥ 1, and all morphisms are differentiable of class Cr.
Groupe d'homotopieEn mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Théorème de plongement de NashEn géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien. « De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien. Il existe deux théorèmes de plongement de Nash : Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C1.
Variété (géométrie)En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
